Question

级数i^n/n 判别级数的绝对收敛与收敛性。复变函数题。 求过程

Answer 1

∑{1
≤
n}
i^n/n的实部
=
∑{1
≤
k}
(-1)^k/(2k),
虚部
=
∑{1
≤
k}
(-1)^(k+1)/(2k-1).
级数∑{1
≤
k}
(-1)^(k+1)/(2k-1)与∑{1
≤
k}
(-1)^k/(2k)都是交错级数.
且通项绝对值单调递减趋于0,
根据Leibniz判别法,
二者均收敛.
因此∑{1
≤
n}
i^n/n收敛.
而∑{1
≤
n}
|i^n/n|
=
∑{1
≤
n}
1/n发散,
因此级数是条件收敛而非绝对收敛.