Question

计算曲线积分∮Lydx?xdy2(x2+y2)其中L为圆周（x-1）2+y2=4，L的方向为逆时针方向

计算曲线积分∮Lydx?xdy2(x2+y2)其中L为圆周（x-1）2+y2=4，L的方向为逆时针方向．

Answer 1

设P＝y2(x2+y2)，Q＝?x2(x2+y2)，
则?P?y＝x2?y22(x2+y2)2＝?Q?x，(x2+y2≠0)
作圆周l：x2+y2＝12，取逆时针方向，
对L和l所围的区域应用格林公式：∮Lydx?xdy2(x2+y2)?∮lydx?xdy2(x2+y2)＝0
于是
∮Lydx?xdy2(x2+y2)＝∮lydx?xdy2(x2+y2)＝∮lydx?xdy
设D为l所围区域，由格林公式
∮lydx?xdy=∫∫D(?2)dxdy＝?π
∴∮Lydx?xdy2(x2+y2)＝?π