Question

计算对坐标的曲线积分 求∫L -ydx+xdy,其中,L为沿圆周(x-1)^2+(y-1)^2=1正向一

计算对坐标的曲线积分 求∫L -ydx+xdy,其中,L为沿圆周(x-1)^2+(y-1)^2=1正向一周

Answer 1

解：把圆的方程x²+y²=1改写成参数方程：x=cost，y=sint，dx=-sintdt，dy=costdt

S=(1/2)∮xdy-ydx

=(1/2)∫‹0，2π›(cos²t+sin²t)dt

=(1/2)∫‹0，2π›dt

=(1/2)t︱‹0，2π›

=π 故∮xdy-ydx

=2π

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

Answer 2

如图