Question

设函数f（x）=a-22x+1（1）求函数f（x）为奇函数时a的值．（2）探索f...

设函数f（x）=a-22x+1 （1）求函数f（x）为奇函数时a的值． （2）探索f（x）的单调性、并运用单调函数定义给出证明． （3）当f（x）为奇函数时，关于x的不等式f（x2-kx+1）＞0恒成立．求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=a-22x+1的定义域为R，且函数为奇函数，则
f（0）=a-220+1=0，即a=1；
（2）函数f（x）=a-22x+1在（-∞，+∞）上为增函数．
证明：设x1，x2是（-∞，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=a-22x1+1-(a-22x2+1)=2x1+1-2x2+1(2x1+1)(2x2+1)．
∵x1＜x2，
∴2x1+1＜2x2+1，
∴2x1+1-2x2+1(2x1+1)(2x2+1)＜0．
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=a-22x+1在（-∞，+∞）上为增函数；
（3）当f（x）为奇函数时关于x的不等式f（x2-kx+1）＞0恒成立，
即f（x2-kx+1）＞f（0）成立，
又函数f（x）为增函数，
则x2-kx+1＞0恒成立，
∴△=（-k）2-4＜0，解得-2＜k＜2．