Question

设函数,.(注:).讨论的单调性.若有两个极值点,,且,求的取值范围.

设函数,.(注:). 讨论的单调性. 若有两个极值点,,且,求的取值范围.

Answer 1

先求函数的定义域,再求导数,由于含参数,分类讨论解不等式,即;由知存在两个极值点时的范围,表示出,构造函数,利用导数即可求得其最值,从而得到取值范围;
解:函数的定义域为,,当时,,在上单调递增;当时,有两个解,,,且,若,即时,,此时在,上单调递增,在上单调递减;若,即时,,此时在上单调递减,在上单调递增;由知:当时有两个极值点,,,,则,令,,,,,令,,所以在上为增函数,所以,即,故的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性及函数最值问题,考查分类讨论思想,考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力.