Question

已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)...

已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．  

Answer 1

（1）a＝4，b＝2，c＝2，d＝2
（2）[1，e2]
(1)∵曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，
∴b＝d＝2.
∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4.
∵g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，则F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)，
由题设可得F(0)≥0，故k≥1，
令F′(x)＝0得x1＝－ln
k，x2＝－2，
①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，
从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)＜0，
当x∈(x1＋∞)时，F′(x)＞0，
即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x22－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
②若k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)，
故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，
因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；
③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，
从而当x∈[－2，＋∞)时，
f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述k的取值范围为[1，e2]．