Question

如何证明收敛的数列只有一个极限?

Answer 1

因为E是任意的。

如果我们假设a,b不相等，即a与b的差值不为0，

则我们设|a-b|=t,(t不等于0)

则我们一定能找到一个E

满足0<E<t/2 (例如取E=t/4,因为E是任意正数，所以一定能取到)

则t>2E

这样，式子|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|<=|xn - b|+|xn - a|<=E+E=2E

即|a-b|=t<=2E就不能恒成立

所以，假设错误，a必须等于b

这样t=|a-b|=0,无论E取什么值

均满足0=|a-b|<2E成立

相互关系：

收敛数列与其子数列间的关系。

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。

若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。