Question

高等数学，这题怎么做啊？

真的不会做啊。想了很久很久。详细的图片回答优先。谢谢了。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

首先，我们需要计算第一个极限：
lim(x,y)→(0,0) (1 + xy)^(-1/2)
可以使用极限的夹逼定理来求解。首先，我们可以得到如下不等式：
-2 ≤ 1 + xy ≤ 2
因此，我们可以得到以下不等式链:
(1 + xy)^(-1/2) ≤ 2^(-1/2)
2^(-1/2) * (1 + xy)^(-1/2) ≤ 1
注意到，当 (x,y) -> (0,0) 时，2^(-1/2) 和 (1 + xy)^(-1/2) 均趋向于无穷大，并满足上述不等式链。因此，根据夹逼定理，我们可以得到：
lim(x,y)→(0,0) (1 + xy)^(-1/2) = 0
接下来，我们需要计算第二个极限：
lim(x,y)→(0,0) [(√(x^2 + y^2)) / x]
这是一个形如 0/0 的不定型。将该式化为极坐标形式，则有：
lim(r,θ)→(0,0) [r / (r cos(θ))] = lim(r,θ)→(0,0) (1 / cos(θ))
由于该极限与 θ 的取值相关，因此需要判断在 θ 逐渐靠近 0 或 π 时，该极限的变化趋势。
当 θ 逐渐靠近 0 时，cos(θ) 逐渐趋向于 1，因此 1 / cos(θ) 趋向于无穷大。
当 θ 逐渐靠近 π 时，cos(θ) 逐渐趋向于 -1，因此 1 / cos(θ) 趋向于负无穷。
因此，该极限不存在。
最后，我们需要计算第三个极限：
lim(x,y)→(0,0) (√2 - e^y)^(x^2)
首先，显然有 (√2 - e^y)^(x^2) ≥ 0，因此该极限存在。
接着，我们可以取对数，将该式化为：
ln[(√2 - e^y)^(x^2)] = x^2 * ln(√2 - e^y)
因此，该极限的值等于：
exp[lim(x,y)→(0,0) {x^2 * ln(√2 - e^y)}]
由于指数函数是连续的，因此可以交换极限和指数运算符。我们可以先计算内部的极限，再取指数。
将 y 设为 0，可以得到：
lim(x,y)→(0,0) {x^2 * ln(√2 - e^y)} = lim(x)→0 x^2 * ln(√2 - 1) = 0
因此，该内部极限为 0。因此，原极限的值为 exp(0) = 1。
综上所述，三个极限的值分别为：0，不存在，1。