Question

高等代数多项式，求详细过程

Answer 1

利用最大公因子与域无关的特点, 求两个多项式的最大公因子, 可以转化为求它们在复数域上的公共根

x^m+1的复根是以 (2k+1)pi/m 为幅角的单位根, 其中k取0,1,...,m-1

如果x^m+1和x^n+1有公共根, 那么存在自然数p,q使得0<=p<m, 0<=q<n, (2p+1)pi/m=(2q+1)pi/n, 所以(2p+1)n=(2q+1)m

1. 当m,n一奇一偶时, (2p+1)n=(2q+1)m的两边也是一奇一偶, 不可能成立, 此时x^m+1和x^n+1的最大公因子是1
   

2. 当m,n是互素的奇数时, 2p+1是m的倍数, 而2p+1<2m, 所以2p+1=m, 同理2q+1=n, 说明公共根只有-1, 也就是x^m+1和x^n+1的最大公因子是x+1