Question

关于导数

Answer 1

        导数是对函数的更深层次的研究，在导数前，对简单函数的单调奇偶凹凸性的研究是在宏观上进行论证的，而导数则从微观角度进行分析。

一、导数的定义（非正规定义）

1、直线的斜率

对于线性（一次）函数（y=kx+b），我们知道，它与x轴有一条交点形成一个夹角，我们将这个夹角的正切值称为斜率，其几何意义为该线的倾斜程度，因为正切函数在（0，π/2）上单调递增，所以当k＞0时，函数的倾斜程度越高，其斜率越大。k＜0时同理，函数倾斜程度越大，其正切绝对值越大，斜率绝对值越大

2、曲线某点的瞬时斜率及导数的定义

对于一条连续光滑的曲线，其每一点所对的切线（即割线两点无限趋近于一点）的斜率称为该点的瞬时斜率，所以曲线每一时刻的瞬时斜率都是在不断变化的，若将每一时刻此曲线的切线斜率视做因变量y'（其原函数因变量为y），其原函数自变量依然做自变量时，我们把瞬时斜率和自变量x称为原因变量与自变量的导函数，由一函数解其导函数的过程称为求导函数，简称求导，

举例   如y=3x+1   由直线知识可知其斜率恒为3   所以其导函数便为y'=3

由此我们知道，一次函数的导函数，就是其表达式中一次项系数的常函数，通式为  y=kx+b y'=k

由上我们定义函数上的某一点的导函数就是该点的斜率，而由导函数值为因变量原自变量仍为自变量的函数叫做原函数的导函数简称导数，所以导数表示曲线斜率的瞬时变化率

我们将函数f(x)求导一次所得导函数f'(x)称为原函数的一次导函数，同样，将原函数的导函数求导将得到原函数的二次导函数，记为f''(x),对于三次及更高次导函数我们用“（求导次数n）”为上角标来表示

当然以上操作都是在基于该区间内函数连续上的

下为基本初等函数的导函数表（摘自搜狗百科）：

导数是研究运动的有力武器，它可以由能表示成v=f(t)的运动公式推出其他物理量，当然这是在高一的范围内的应用（毕竟我也才高一），除此之外它还可以求函数单调性（如果高一新生会）

通过代入我们可以求得两函数的和/差的导函数就是两函数各自的导函数的和/差，但是当导数涉及到乘除时，别没有这么简便了，我们发现：

对于复合函数（即形如f[g(x)]的函数）的求导，则用其因变量与中间变量的函数的导函数乘以其中间变量与自变量的函数的导数求之

对于反函数的求导，先求其原函数的导函数，再将其取倒数，则为反函数的导函数

二，极限

1，有界性

对于区间（a,b）内某一函数f(x)的所有函数值f(x)都小于等于一个确定的数则称此数为该函数在区间（a,b）上的上界，对于区间（a,b）内某一函数f(x)的所有函数值f(x)都大于等于一个确定的数则称此数为该函数在区间（a,b）上的下界。当函数在区间（a,b）上同时有上界和下界，我们称该函数在区间上是有界函数

2，邻域

对于一点a的邻域，其范围包括{a a- ＜a＜a+ }其中 叫做邻域半径

对于一点a的去心领域，其范围其实就是a的领域去掉a点的部分（同样有邻域半径）

3，极限

对于一函数f(x)若在以 的某一去心邻域内有定义，当x无限趋近于 （但不等）时，若函数的函数值也无限趋近于某一常数a，则称a为函数f(x)当x 时的极限，记为 =a

上述极限的定义为极限的非正式定义，事实上极限应定义为：

习惯上我们把极限记为limf(x)（即条件省略）

4，极限的线性运算（c为常数）

lim[f(x) g(x)]=limf(x) limg(x)

limcf(x)=climf(x)

乘除幂运算，若limf(x)=A,limg(x)=B

则lim[f(x)g(x)]=AB,lim( )= ，lim{ }=

5,两个重要极限(e为自然常数)

① =1

② =e，或 =e

6，由极限定义的函数某点 的导数的定义

设函数y=f(x)在点 的某个邻域内有定义，当自变量x在 处有增量Δx，( +Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f( +Δx)-f( )；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点 处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点 处的导数记作

f'( )= = ,等价于

注：以上仅为本人意见，若与主流学派不一致，还请以其为准

文有疏漏，欢迎指正