Question

设三角形的周长为定值,求三角形的内切圆周长面积的最大值

Answer 1

设△ABC,其中AB=c,AC=b,BC=a,a+b+c=2p(定值).
△ABC的内切圆圆心0是三条角平分线的交点,S△ABO=rc/2,S△ACO=rb/2,S△BCO=ra/2,S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=r(a+b+c)/2=rp；根据海伦公式,S2△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c),所以有r2p2=p(p-a)(p-b)(p-c),r2=(p-a)(p-b)(p-c)/p.
∵(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p(定值)；可以证明三个数和一定的时候,只有当它们分别相等的时候积最大.也就是说当r取最大值的时候存在p-a=p-b=p-c,即a=b=c=2p/3,此时△ABC是等边三角形：r2max=p2/27.内切圆面积S=πr2=πp2/27.
★另,关于三个正数x、y、z,x+y+z=C(定值)时,xyz=xy(C-x-y)=Cxy-x2y-xy2,可以将x看成主元,则xyz=-yx2-(y2-Cy)x是一个开口向下的抛物线,函数在对称轴上取得最大值,对称轴x=-b/2a=(Cy-y2)/2y=C/2-y/2；最大值M=(4ac-b2)/4a=(y2-Cy)2/4y,M的导函数M’=3y2/4-Cy+C2/4=0,分解因式有(y-C)(3y-C)=0；可解得y1=C(此时xyz=0,M取得最小值),y2=C/3(此时xyz=C3/27,M取最大值).所以,当y=C/3时,M有最大值,此时,x=-b/2a=(Cy-y2)/2y=C/2-y/2=C/2-C/6=C/3,z=C-x-y=C-C/3-C/3=C/3,即x=y=z=C/3时,其乘积最大