Question

三角函数证明？

求证：sin（24°）sin（54°）/[sin(54°）-cos（54°）sin（24°）]=tan（30°）

Answer 1

sinA-sin[(B-C)]

=sinA+sin[(C-B)]

=2sin[(A+C-B)/2]cos[A+B-C)/2]

=2sin[(π-2B)/2]cos[(π-2C)/2]

=2sin(π/2-B)cos(π/2-C)

=2cosBsinC

所以tanB=cos(C-B)/[sinA+sin(C-B)]

=cos(C-B)/2cosBsinC

即2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC

cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=0

所以B+C=π/2

所以sinA=1

因为B+C=π/2

所以△ABC是直角三角形

所以(b+c)/a

=(sinB+sinC)/sinA

=sinB+sinC

=sinB+cosB

=√2sin(b+π/4)

≤√2；

另一方面，三角形两边之和大于第三边，所以(b+c)/a>1

所以1

Answer 2

tan（30°）=sin（30°）/cos（30°），往这个方向去化简试试。

Answer 3

问题的实质就是黄金比！

Answer 4

答:将40°写成30°+10°，20°写成30°-10°，运用三角诱导公式及辅助角公式 即可证明结论。详情如图所示: