Question

判断极值第二充分条件为啥要强调二阶导数不得零？

Answer 1

其实是因为“当二阶导数不等于零时为极值”是充分非必要条件，反过来不一定成立。

常数函数是简单的反例，但不够好，因为事实上即使把严格不等号换成不严格的不等号结论也不对。

考虑f(x)=x*sin(1/x)，f(0)=0。

显然f^2是非负函数，x=0是f^2的一个极小值点，x≠0的时候f^2是可导的。

但在0的附近f(x)反复改变符号，所以f^2也反复改变单调性，没有单调的小邻域。

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

函 数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值通过其一阶和二阶导数来确定。

对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0。