Question

已知f（X）是二次函数,且满足f[f(x)]=x4-2x2,求f(x)

Answer 1

已知f(x)是二次函数,且满足f[f(x)]=x^4-2x^2,求f(x)
1.快速解法:
把f[f(x)]=x^4-2x^2变形为
f[f(x)]=[x^2 -1]^2 -1
容易看出
f(x)=x^2 -1.
2.正规解法:
因为f(x) 是二次函数
所以可以设f(x)=ax^2 +bx +c
那么
f[f(x)]=a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c
=(a^3)x^4 +2a^2*bx^3 +(2a^2*c +a*b^2 +ab)x^2 +(2abc +b^2)x+(a*c^2+bc+c)
与f[f(x)]=x^4-2x^2比较,得
a^3=1 → a=1
2a^2*b=0 → b=0
2a^2*c +a*b^2 +ab=-2 → c=-1
2abc +b^2=0
a*c^2+bc+c=0
从而a=1,b=0,c=-1
所以f(x)=x^2 -1.