Question

为什么可导不一定可微？

Answer 1

因为该函数可能是多元函数，对多元函数来讲，可微是可偏导的充分不必要条件，即在某一点可求偏导并不一定能推出在这一点可微。

对于多元函数而言，某处可微意味着此处的每个方向上都可以进行线性近似，而某处可导最少只需要一个方向上可以进行线性近似。

函数可导的充要条件：

函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。函数可导与连续的关系定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。

以上内容参考：百度百科-可导

以上内容参考：百度百科-可微

Answer 2

英文一元函数只有左右两方向的导数，只要两边都可导且相等就是可微，所以多元函数，可导不一定可微，可微一定可导。

证明内容任何一本高数书和数分书都有。谈点其他方面的认识。可微是总体的、一般的、关于多的性质，可导是单一的、特殊的、关于“多”中的一的性质。

一般成立，特殊必然成立；特殊成立，一般不一定成立，但特殊是一般的基础，在一元函数框架下，多即是一，那么特殊和一般在此条件下得到了统一。

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续：

若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。