Question

设θ为无理数,则对任意的正整数n,存在整数p,q,其中 |q|不大于n,并且|qθ-p|

Answer 1

使用抽屉原理.
用[x]表示实数x的取整,即不超过x的最大整数.
有[x] ≤ x < [x]+1,即0 ≤ x-[x] < 1.
将[0,1)分为n个长为1/n的不相交区间:[0,1/n),[1/n,2/n),...,[(n-1)/n,1).
考虑n+1个数:0,θ-[θ],2θ-[2θ],...,nθ-[nθ].
它们都落在区间[0,1)中,由抽屉原理,其中至少存在两个数属于同一长为1/n的区间.
不妨设aθ-[aθ]与bθ-[bθ]在同一长1/n的区间,则|(aθ-[aθ])-(bθ-[bθ])| < 1/n,
即对q = a-b,p = [aθ]-[bθ]成立|qθ-p| < 1/n.
由0 ≤ a,b ≤ n,可知|q| = |a-b| ≤ n满足要求.