Question

偏导数连续是可微分充分条件为什么不是必要

Answer 1

这个条件是充分条件但不是必要条件,比如下面这个函数f(x,y),
函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2
当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0.
我们来考虑这个函数在（0,0）处的微分,显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a,其中a的表达式为：当⊿x,⊿y都是有理数时,a=⊿x^2+⊿y^2；当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0.所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小.这也就说明了函数f(x,y)在（0,0）是可微的.
另一方面,我们来考虑导数.
1.根据导数定义,我们可以证明函数f在（0,0）处对于x和y的偏导数都等于0.
2.在除（0,0）以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的,因为当x,y为有理数,⊿x以无理数方向趋于0时,⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2,所以⊿f/⊿x的极限不存在.
综合1.2可以知道,f在（0,0）的任意一个领域内导数不满足连续条件,但f可微,所以那只是充分而非必要条件.