Question

当x→0时,arcsinx²是x的什么无穷小？

Answer 1

我们可以使用泰勒公式将 $\arcsin(x^2)$ 在 $x=0$ 处展开成幂级数：
$$\arcsin(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)2^n}x^{4n+2}$$
在 $x=0$ 处，这个幂级数的第一项是 $0$，因为 $x^{4n+2}$ 比 $x$ 的幂更高，所以我们可以将级数改写成：
$$\arcsin(x^2) = x^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)2^n}x^{4n}$$
当 $x \to 0$ 时，$x^2$ 是一个比 $x$ 更小的无穷小，所以我们只需要关注级数部分。级数的每一项都是 $x^{4n}$ 乘以一个常数，因此级数部分也是一个比 $x$ 更小的无穷小。
因此，$\arcsin(x^2)$ 在 $x \to 0$ 时是 $x$ 的二次无穷小。

Answer 2

😳问题 : 当x→0时,arcsin(x^2) 是x的什么无穷小？

👉等价无穷小

• 等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

1. 『例子一』 x->0,  sinx 等价于 x
   

2. 『例子二』 x->0,  1-cosx 等价于 (1/2)x^2

3. 『例子三』 x->0,  tanx-sinx 等价于 (1/2)x^3

👉回答

x->0

• arcsinu 等价于 u

arcsin(x^2) 等价于 x^2

• arcsin(x^2) 是 2 阶

• x是 1 阶

所以

arcsin(x^2) 是x的 (高价)无穷小

😄: 结果 :  arcsin(x^2) 是x的 (高价)无穷小