Question

无穷级数1+1/22+1/32+…+1/ n2等于多少？

Answer 1

1＋1/22＋1/32＋ … ＋1/n2→π2/6 

这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围 。

将sinx按泰勒级数展开： 

sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ … 

于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ … 

令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ … 

而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,… 

故方程sin√y/√y＝0的根为π2,(2π)2,… 

即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π2,(2π)2,… 

由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数 

即1/π2＋1/(2π)2＋…＝1/3! 

故1＋1/22＋1/32＋ … ＝π2/6

扩展资料:

无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。

用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。

算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。

参考资料:百度百科-无穷级数