Question

如何理解周期函数的奇偶性？

Answer 1

关于奇函数周期。

法1：因为f(x)是奇函数,所以f(-x）=-f(x),又f(1+x)=f(1-x),取x=t-1,则f(x+1)=f(t)=f(2-t)=-f(t-2)=-[-f(t-4)]=f(t-4),所以f(x)的周期为4。

法2：:函数f(1+x)=f(1-x)所以f(x)关于x=1成轴对称,而f(x)关于原点成中心对称,所以f(x)是周期函数,且T=4（1-0）=4.可以类比正余弦函数来理解.

也可以这样做：由f(1+x)=f(1-x)知f(x)=f[1+(x-1)]=f[1-(x-1)]=f(2-x)=-f(x-2)(奇函数性质）,再由f(x)=-f(x-2)得f(x-2)=-f[（x-2)-2]=-f(x-4),所以f(x)=f(x-4),所以f(x)的周期为4.

f(1+x)=-f(1-x),f(-1-x)=-f(-1+x)

另x+1=t得：1-x=2-t,f(1+x)=f(t)=-f(1-x)=-f(2-t),注意这里的x和t都只是自变量,跟自变量用什么字母表示没关系的,

即：f(t)=-f(2-t)与f(x)=-f(2-x)等价的.

同样设-1-x=t得：-1+t=-2-t,于是有：f(x)=-f(-2-x)

于是有：f(2-x)=f(-2-x),同样设2-x=t得：-2-x=4+t,于是有f(x)=f(x+4)

所以周期是4