矩阵特征值相同,特征向量一定相同吗?
它们的特征值相同,特征向量不一定相同。
相似则特征多项式相同,
所以矩阵A和B的特征值相同。
而对于相同的特征值x,
An=xn,n为特征向量,一样的矩阵特征向量不一定相同。
扩展资料:
一、矩阵的特征值求值方法:
Ax=mx,等价于求m,使得(mE-A)x=0,其中E是单位矩阵,0为零矩阵。
|mE-A|=0,求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式,它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值,这些根有可能相重复,也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn,则|A|=m1*m2*...*mn
同时矩阵A的迹是特征值之和:tr(A)=m1+m2+m3+…+mn[1]
如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。
还可用mathematica求得。
二、矩阵的特征向量求值方法:
对于矩阵A,由AX=λ0X,λ0EX=AX,得[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是:
即说明特征根是特征多项式|λ0E-A| =0的根,由代数基本定理
有n个复根λ1,λ2,…,λn,为A的n个特征根。
当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后,(λiE-A)X=θ是齐次方程,λi均会使|λiE-A|=0,(λiE-A)X=θ必存在非零解,且有无穷个解向量,(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。