Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，SnSn+1=2S， （1）若Sn≠1，证明:数列｛Sn-1/1？

Answer 1

因为：
Sn * Sn+1 + 1 = 2Sn
Sn * Sn+1 - Sn = Sn - 1
Sn(Sn+1 - 1) = Sn - 1
两边同时除以 (Sn - 1)(Sn+1 - 1)，得到：
Sn/(Sn - 1) = 1/(Sn+1 - 1)
1 + 1/(Sn - 1) = 1/(Sn+1 - 1)
那么，整理后得到：
1/(Sn+1 - 1) - 1/(Sn - 1) = 1
由此可见，数列 { 1/(Sn - 1)} 是一个等差数列，公差 d = 1
当 A1 = S1 = 2 时，则 B1 = 1/(S1 - 1) = 1
那么：
Bn = 1/(Sn - 1) = B1 + (n-1) d = 1 + (n - 1) * 1 = n
所以：
Sn = 1 + 1/n
则：
Sn-1 = 1 + 1/(n-1)
那么：
An = Sn - Sn-1 = 1/n - 1/(n-1) = - 1/[n(n-1)]
由这个通项公式可以知道：
|An| = 1/[n(n-1)] < 1/1000 → n(n-1) > 1000
可以解出 n > 32.13。取整 得到 n ≥ 33。即 n 的最小值为 33
希望能够帮到你！