Question

如何证明1＋1（用公式证明）？

Answer 1

（一）根据皮亚诺自然数公理:
1. 0属于N。
2. 若x属于N，则x有且只有一个后继x'。
3. 对任一个x属于N，皆有x'不等于0。
4. 对任意x，y属于N，若x不等于y，则x'不等于y'。
5. (归纳公理)设M包含于N，若0属于M，且对任意x属于M都有x'属于M，则M=N。
根据以上公理:将0的后继记为1，1的后继记为2，即0'=1，1'=2。

（二）根据加法的定义:存在唯一的一个二元运算+:NxN→N满足:x+0=x且x+y'=(x+y)'。
将y=0代入x+y'=(x+y)'得:x+0'=(x+0)'， 由x+0=x以及0'=1得:x+1=x' 将x=1代入上式得:1+1=1' 又由1'=2得，1+1=2。 因此，1+1=2。

（三）定义 现代汉语字典对2的定义为1+1的结果 2是一种语言，表示的1与1相加后的状态。它的实质就是1+1。

（四）数学诞生于形而下的现实世界，人们将一个物体定义为1，一个物体与同一个物体放在一起的状态定义为2。比如一单位水与1单位水相加称为2单位水。加法就是对研究对象中一致的性质的一种运算，比如说1个男人加1个女人之和应该是2个人，因为二者共同的特征是人，单纯对男女性别是无法使用加法运算的，因为这样的加法根本没有意义。这也就给我们一个信息:实际中的对象是多元的，是丰富的，而数学只是对这些对象某方面特征的概括，在数学中，1个男人加1个女人之这种运算只是抽取了人作为一个整体的数量特征，而忽略了其他信息，所以我们只能得出2个人的结论。总之一句话，加法是对对象共性的一种运算，所以1加1等于2，不具有共性的对象是不能用加法的。

（五）因为这是整个数学的基础。
有了1+1=2，才能有1+2=3，1+3=4，......才有了加法运算，有了加法的逆运算减法，相同加数的简便运算乘法，乘法的逆运算除法。
有了四则运算，才有了小数，分数，以至于整个算术体系。才能在此基础上引入字母。
有了代数后，才能有三角，解析几何以至于数学分析。
......

当然1加1也可以不等于二。不过那就不属于我们现在这个数学的范畴了。

Answer 2

1+1=2等于十一等于111