Question

在三角形ABC中，边c=根号6+根号2，角C=30度，求边a+边b的最大值

详细过程
谢谢！

Answer 1

因c^2=a^2+b^2-2abcosC
(√6+√2)^2=a^2+b^2-√3ab
a^2+b^2-√3ab-4（2+√3）=0
设x=a+b,b=x-a
a^2+(x-a)^2-√3a(x-a)-4（2+√3）=0
a^2+(x^2-2ax+a^2)-√3ax+√3a^2-4（2+√3）=0
(2+√3)a^2-(2+√3)xa+[x^2-4（2+√3）]=0
要使a存在，则
△=[-(2+√3)x]^2-4(2+√3)*[x^2-4（2+√3）]
=(7+4√3)x^2-4(2+√3)x^2+4(2+√3)*[4（2+√3）]
=-x^2+16(2+√3)^2
≥0
x^2≤16(2+√3)^2
x≤4(2+√3)=8+4√3
所以a+b最大值为8+4√3。

Answer 2

解：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=√3/2
∵c=√6+√2
∴a²+b²=8+4√3+√3ab
∵（a+b）²=a²+b²+2ab
然后利用二元基本不等式转换即可得到结果
（数据太繁，不好算）

Answer 3

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab；
C=30°,cosC=√3/2；
又c=√6+√2；
〔a^2+b^2-(√6+√2)^2〕/2ab = √3/2；
a^2+b^2-8-4√3=√3ab；
因为a^2+b^2>=2ab；
a+b>=2(√ab)；
√3ab>=2ab-8-4√3；
ab<=28+16√3；
所以(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=√3ab+8+4√3+2ab
=ab(2+√3)+8+4√3；
又ab最大值28+16√3；
所以(a+b)^2=112+64√3；
a+b最大值√(112+64√3).
当a=b是取最大值.