Question

y=log1/a(a^2x)*loga^2(1/ax)(2≤x≤4)的最大值为0,最小值为-1/8,求a的值

答案是这么写的:

y=log1/a(a^2x)*loga^2(1/ax)
=-loga(a^2x)[-1/2loga(ax)]
=1/2(logax+2)(logax+1)
=1/2(logax+3/2)^2-1/8

因为2≤x≤4且-1/8≤y≤0
所以logax+3/2=0即x=a^(-3/2)时,y最小=-1/8
因为x≥2所以x>1即a^(-3/2)>1所以0<a<1

又因为y最大=0
所以logax+2=0或logax+1=0
即x=1/a^2或x=1/a
所以1/a^2=4或1/a=2
又因为0<a<1
所以a=1/2

"所以1/a^2=4或1/a=2"为什么能得到这一步呢?

Answer 1

令t=2^x>0;
则4^(x-1)-5*2^x+16=t^2/4-5t+16.
解不等式t^2/4-5t+16≤0得:
4≤t≤16.
则2≤x≤4.
即f(x)的定义域为[2,4].

当a＞1时，由对数函数性质和函数单调性关系可知,
f(x)在[2,4]上单调递增.
则当x=2时f(x)最小;当x=4时f(x)最大.
即f(2)=-1/8;f(4)=0.
即loga[2(a^2）]*loga(2a)=-1/8
→[loga(2) +2]*[loga(2) +1]=-1/8;
→log^2 a (2) +3·loga(2) +17/8;=0;
解得:a=2^[(±√2-6)/4]

当0＜a＜1时，由对数函数性质和函数单调性关系可知,
f(x)在[2,4]上单调递减.
同理分析，可求出a值．

Answer 2

F(x)=-loga(a2x)[-2loga(ax)]=2(2+logax)(1+logax).
令t=logax则F(x)=g(t)=2(t+1)(t+2)=4t2+6t+4且t在xÎ[2，4]上单调的.
注意到g(0)=4>0,而当a>1时,g(t)在0<loga2≤t≤loga4单增,有g(t)≥4,不合题意.
所以0<a<1,得loga4≤t≤loga2.
因为最小值为-1/8,恰在顶点处(-3/2,-1/8)达到最小.又因为g(t)=2(t+1)(t+2)图像关于x=-3/2对称,恰在t=-1且t=-2同时取得最大值0,故loga2=-1且loga4=-2即a=1/2为所求.

追问

亲，两年过去啦。。我都已经在上大二了。。。

Answer 3

因为2≤x≤4
所以“即x=1/a^2或x=1/a”分别取最大值与最小值
所以1/a^2=4或1/a=2

Answer 4

y^2=x
取对数得
logy(y^2)=logy(x)
则
logy(x)=2

logax+2=0
loga(x)=-2
则

x=a^(-2)=1/a^2
同理
logax+1=0
x=a^(-1)=1/a