Question

A是一个实矩阵，证明秩（A'A）=秩（A）

那个A’是A的转置

Answer 1

实际上A'Ax=0和Ax=0的解是相同的。

首先对任何满足Ax=0的x，必有A'Ax=0。
其次对任何满足A'Ax=0的x,必有x'A'Ax=(Ax)'(Ax)=0，于是Ax=0。（这里用到了一个性质：如果B'B=0，必有B=0，原因很简单，因为B'B的对角线元素是B的各列的平方和，因此B中只要任何一个元素不为零，B'B就不会为0）

所以他们的秩当然相同

Answer 2

这个好象相应的教科书上都有证明，打字很难说的清楚