Question

导数是偶函数的原函数一定是奇函数吗？

可以通过证明导数是偶函数来证明原函数是奇函数吗？

Answer 1

不一定

比如y=x^3是奇函数 导数是偶函数

但是y=x^3+3 导函数没变，但是不是奇函数了

如果加上0点的值是0 ，就一定是奇函数了

f(x)-f(0)=f'(x) 在0~x的定积分

同理

f(-x)-f(0)=f'(x) 在0~-x的定积分

由于f'(x)=f'(-x)

所以f(x)-f(0)=-f(-x)+f(0)

f(x)=-f(-x)+2f(0)

只有f(0)=0才是奇函数

扩展资料

可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

Answer 2

不一定
比如y=x^3是奇函数 导数是偶函数
但是y=x^3+3 导函数没变，但是不是奇函数了
如果加上0点的值是0 ，就一定是奇函数了
f(x)-f(0)=f'(x) 在0~x的定积分
同理
f(-x)-f(0)=f'(x) 在0~-x的定积分
由于f'(x)=f'(-x)
所以f(x)-f(0)=-f(-x)+f(0)
f(x)=-f(-x)+2f(0)
只有f(0)=0才是奇函数

Answer 3

不一定。例如：
令f(x)=x^2,
(x<0)
x^2+1,
(x>0)
f(x)在原点没有定义，同时不是偶函数。
但f'(x)=2x
(x不等于0)是奇函数。