Question

已知定义域在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2),且当x＞1时，f(x)＜0

（1）求f(1)的值
（2）判断f(x)的单调性
（3）若f(3)=-1,解不等式f（｜x｜)＜-2

Answer 1

（1） 由 x1=x2时可得
f(1)=O
（2） 设x1＞x2
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2）
∵x1＞x2 ∴x1/x2＞1
∵当x＞1时，f(x)＜0
∴f(x1)-f(x2）＜0
∴f(x)在区间(0,+∞)是减函数
（3） ∵f(1)=O f(3)=-1
∴f(1／3)=f(1)－f(3)
=0－-1=1
f(3)－f(1／3)=f(3÷(1／3))=f(9)=－1－1=－2
∵f(x)在区间(0,+∞)是减函数
∴｜x｜＜9时 f（｜x｜)＜-2
∴－9＜x＜9 且x≠0