Question

已知定义域在区间(0，正无穷)上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2),且当x

已知定义域在区间(0，正无穷)上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2),且当x＞1时，f(x)＜0,①求f(1)的值,②判断并证明f(x)的单调性，③若f(3)=-1，解不等式f(绝对值x)＜-2

Answer 1

解：（1）由题意可得：
当x1=x2时，x1/x2=1
所以f(x1/x2)=f(1)=f(x1)-f(x2)=0
在区间（0，正无穷大）,当x1>x2时，x1/x2>1
所以f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
所以f(x)在定义域内为减函数。

（2）因为f(3)=-1，f(1)=0 令x1=1,x2=3可得
f(1/3)=f(1)-f(3)=1
令x1=3,x2=1/3可得：
f(9)=f(3)-f(1/3)=-2
所以f(|x|)<f(9)=-2
因为f(x)在定义域内为减函数
所以|x|>9
所以x>9或x<-9