Question

已知定义域在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2),且当x＞1时，f(x)＜0

（1）求f(1)的值
（2）判断f(x)的单调性
（3）若f(3)=-1,解不等式f（｜x｜)＜-2

Answer 1

解：（1）令x1=x2=1 则f（1）=f（1）-f（1）=0 ∴f（1）=0 （2）令x1＞x2＞0 则f（x1）-f（x2）=f(x1/x2) ∵x1＞x2＞0 ∴x1/x2＞1 又∵当x＞1时，f(x)＜0 ∴f(x1/x2)＜0 即f(x1)-f(x2)＜0 f(x1)＜f(x2) ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减 （3）令x1=9 x2=3 则f（3）=f（9）-f（3） ∵f（3）=-1 ∴f（9）=2f（3）=-2 当x＞0时 f（x）＜-2 f（x）＜f（9） ∵f（x）为减函数 ∴x＞9 当x＜0时 f（-x）＜-2 f（-x）＜f（9） ∵f（x）为减函数 ∴-x＞9 x＜-9 故不等式的解集为{x|x＜-9或x＞9}

Answer 2

1.让x1=x2，f(1)=02.设x1>x2>0,则x1/x2>1f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0所以，f(x)的单调递减3. f（｜x｜)＜-2即f（｜x｜)-（-1）＜-1即f（｜x｜/3)＜f（3） 因为f(x)的单调递减，可得｜x｜/3>3 即｜x｜>9又因为定义域在区间(0,+∞)可得，x>9

Answer 3

解：(1)∵f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)，令x1=x2=1，则有： f(1)=f(1)-f(1)=0(2)令x1>x2>0，则x1/x2>1y∵f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)，又当x>1时，f(x)＜0，所以f(x1/x2)＜0，即f(x1)-f(x2)<0∴f(x1)<f(x2)故在(0,+∞)上f(x)单调递减(3)

Answer 4

f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0