Question

已知函数f(x)=log2^(3+2x-x²)

求函数的定义域；求证其在x∈(1，3)上是减函数；求它的值域

在线等。

Answer 1

定义域：对于对数函数，要求对数必须大于0，也就是说3+2x-x²>0，求解不等式得-1<x<3，所以定义域为（-1，3）

证明是减函数：由于对数函数在全体实数范围内单调增加，所以，只需要考虑3+2x-x²在x∈(1，3)的增减性即可，设g(x)=3+2x-x²，通过绘制g(x)的函数图像，可以得出g(x)的对称轴是x=1且在(1，3)内是减函数，由于log2^g(x)为增函数，可得原函数在该区间是减函数。

值域：由上题可得g(x)为开口向下的抛物线，且x=1为g(x)的最大值，又因为log函数为增函数，所以当x=1时，本函数取最大值，此时f(x)=log2^4=2，又由于其定义域关于x=1对称，所以当x趋近于x=3和x=-1的时候函数将趋近于最小值f(x)=-∞（注意是趋近于，因为是开区间）。因此函数的值域为（-∞，2）

Answer 2

这是复合函数问题；
内函数u(x)=3+2x-x²=-(x-1)^2+4,对称轴为x=1;
由u(x)>0得-1<x<3;∵u(x)在(1，3)为减函数;而
y=log2(u)为增函数，∴f(x)在1，3)上是减函数；
∵u(x)=3+2x-x²=-(x-1)^2+4 且x∈(1，3)
0<u(x)≤4
∴log2^(3+2x-x²)≤2
f(x)的值域为(-∞,2]

Answer 3

3+2x-x²>0
-(x-3)(x+1)>0
-1<x<3
3+2x-x²=-(x-1)∧2+4
对称轴x=1 开口向下
（-∞，1）单调递增
[1，+∞）单调递减