Question

求教一道概率题？

某人写了N封信，装入N个信封，然后随机地把N个收信人地址分别写在N个信封上。求没有一封地址写对的概率？
★sword★:很遗憾，你的解答是不对的。正如 慈悲喜舍四无量 所说的，你没有考虑到第一个人的信发到了第2个人的信箱的情况。
慈悲喜舍四无量： 你的想法是正确的，不过，最后的答案应该是N的函数才是，最重要的是要找出C1,C2,……CN与N之间的关系,而这好像不太好找。

回去思索了一下，解题思路大致是这样的。
设Ai＝{第i封信上写上了正确的收信人地址}
则至少有一封地址写对的概率是P(A1∪A2∪……∪An）。P(Ai）＝1/n, 当i≠j时，P(AiAj）＝1/[n(n-1)],当i≠j≠k时， P(AiAjAk）＝1/[n(n-1)(n-2)], 则
P(A1A2……An）＝1/n!。所以P(A1∪A2∪……∪An）=Cn1P(Ai)-Cn2P(AiAj)+Cn3P(AiAjAk)-……-(-1)nP(A1A2……An)=1-1/2!+1/3!-……-(-1)n/n!（(-l)n代表－1的N次方）
所以一封地址都没有写对的概率是 P＝1－P(A1∪A2∪……∪An）＝1/2!-1/3!+……+(-1)n/n!!（(-l)n代表－1的N次方）
另外，感谢cjjgenius的详细回答。

Answer 1

只有两个N是有效的，一个是N封信，一个是N个地址，就是它们没有任何一个一一对应的概率。
可以先把信的位置固定，然后，用地址进行对应。要求不能产生正确的对应，故第一封信对应的地址可以有N-1个，那么第二个就只可能有N-2个，这么总的所有可能的没有一封地址写对的情况就总共有（N-1）！种。而总的所有可能的对应情况有N！种（过程同前，但是每封信都有了比前个过程多一的选择），所以没有一封地址写对的概率是（N-1）！/（N！），即1/N
我的答复lutherfatcat 满意吗？

Answer 2

楼上的说法是错的！简单想下，第一个人确实是N－1，但是第一个人的信发到了第2个人的信箱的时候呢？第2个人的选择仍然是N－1个！
我们可以用图像的方式来理解：
图上有N个点，代表N封信，信箱我们理解为每封信对应为同一个点，从一个点练条线到另外一个点就是信发错了，那么对应图上的孤立点就是信发对了。对孤立点编号为1－N。
那么当图上出现一个孤立点的情况数为C（N取1）
当图上出现两个孤立点的时候是C（N取2）
…………………………
当图上出现N个孤立点的时候是C（N取N）

总的情况数为N!。
那么没有一个写对的概率为：1－（C1＋C2…………
＋CN）/N!

这才是正确的答案～

Answer 3

我们用递推的方法来找规律，N=1时，显然有0种，N=2时，有1种，N=3时，有2种，N=4时，有9种，N=5时，有44种，显然可以发现，N>1,对N是奇数时，等于前面的各项数乘以所对应的信封数，然后再相加。而对于N是偶数时，则等于前面的各种排列数乘以对应的信封数，相加后再加上1。也就是
n是奇数时，x(n)=x(1)+2x(n)+……+(n-1)*x(n-1)
x(n-1)=x(1)+2x(n)+……+(n-2)*x(n-2)+1
x(n)-x(n-1)=(n-1)x(n-1)-1
同理，当n是偶数时，x(n)-x(n-1)=(n-1)x(n-1)+1
从而又递推关系，可以得到概率值。

Answer 4

1/N*N*N

Answer 5

(N-3)N(N-2)N(N-1)N