Question

已知a>b>c,a+b+c=1,a2+b2+c2=1.求证：(1)1<a+b<4/3;(2)8/9<a2+b2<1.

a2+b2+c2表示a与b与c分别平方的和

Answer 1

（1）若c>0, a+b+c=1. 0<c<b<a<1,
a²<a, b²<b, c²<c,
a²+b²+c²<a+b+c=1 与已知矛盾，
所以 c < 0
a+b= 1-c >1
2ab = (a+b)² - a²-b²
= (1-c)² - 1+c²
= 2c² -2c
ab = c²-c
所以 a和b是方程
x²+(c-1)x +c²-c = 0 的两个不等实数根
这个方程的判别式
(c-1)² - 4(c²-c)=-3c²+2c+1 >0
-1/3 < c < 1, 已经证明c<0,
-1/3 < c < 0.
a+b =1-c > 1+1/3 = 4/3
所以 1<a+b<4/3

（2）a²+b² = 1 - c²
-1/3 < c < 0, 0<c²<1/9
8/9 < 1-c²< 1
8/9<a²+b²<1

Answer 2

（1）若c>0,a+b+c=1.0<c<b<a<1,
a²<a,b²<b,c²<c,
a²+b²+c²<a+b+c=1与已知矛盾，
所以c<0
a+b=1-c>1
2ab=(a+b)²-a²-b²
=(1-c)²-1+c²
=2c²-2c
ab=c²-c
所以a和b是方程
x²+(c-1)x+c²-c=0的两个不等实数根
这个方程的判别式
(c-1)²-4(c²-c)=-3c²+2c+1>0
-1/3<c<1,已经证明c<0,
-1/3<c<0.
a+b=1-c>1+1/3=4/3
所以1<a+b<4/3
（2）a²+b²=1-c²
-1/3<c<0,0<c²<1/9
8/9<1-c²<1
8/9<a²+b²<1