Question

已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x)的解析式

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Answer 1

设二次函数式子为f(x)=ax²+bx+c
∵f(0)=0
∴c=0
∴f(x)=ax²+bx
f（x+1)=a(x+1)²+b(x+1)
=ax²+2ax+a+bx+b
=ax²+(2a+b)x+a+b
=f（x）+x+1
∴ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+bx+x+1
ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+(b+1)x+1

∴2a+b=b+1
a+b=1
∴a=1/2
b=1/2

∴f(x)=1/2x²+1/2x

Answer 2

第一种方法
待定系数法
设f(x)=ax.^2+bx+c
那么有a(x+1).^2+b(x+1)+c=ax.^2+bx+c+x+1
化简得(2a-1)x+a+b-1=0恒成立
那么有
2a-1=0
a+b-1=0
解得a=0.5
b=0.5
又f(0)=0，所以c=0
f(x）=0.5x.^2+0.5x

Answer 3

设f(x)=ax^2+bx+c
c=0
a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+bx+c+x+1
2ax+a+b=x+1
2a=1
a+b=1
=>a=1/2
b=-3/2
f(x)=1/2x^2+1/2x

Answer 4

f(x)=1/2x²+1/2x