Question

求函数y=(2-sinx) / (2-cosx)的值域。

注意，中间是除号

Answer 1

解:展开得到:
y=4-2(cosx+sinx)+sinxcosx
又sinxcosx=[(sinx+cosx)^2-((sinx)^2+(cosx)^2)]/2=[(sinx+cosx)^2-1]/2
所以可以设t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
那么y=4-2t+(t^2-1)/2=t^2/2-2t+7/2=(t-2)^2/2+3/2
该函数在[-√2,√2]上单调递减.
所以值域为[9/2-2√2,9/2+2√2]
此时对应的x分别为:x=π/4+2kπ,与x=-3π/4+2kπ

Answer 2

y=(2-sinx) / (2-cosx)
可变为2-2y=sinx-ycosx
化简得2-2y=√(1+y^2)sin(x-z),sinz=y,cosz=1
可变为1-y/(√1+y^2)=sin(x-z)/2
-1/2≤sin(x-z)≤1/2
则得-1/2≤1-y/(√1+y^2)≤1/2
解这个方程的
(-√7+4)/3≤y≤(√7+4)/3

Answer 3

可用万能公式
sina= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cosa= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

代入后简化成y＝2/3·｛1+（2-3t）/（3t^2+1）｝，t＝tgx/2属于R；
令z＝（2-3t）/（3t^2+1）；
化为二次方程，3z·t^2+3t+z-2=0;
T＝tgx/2要属于R，即这个方程必然有解，△≥0；
得到(2-√7)/2≤z≤(2+√7)/2；
y＝2/3·（1+z）的y范围自然出来，为
(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3；

Answer 4

求函数y=sinx/(2+cosx)的值域
y=sinx/(2+cosx)
--->sinx-ycosx=2y
--->√(1+y^)sin(x-T)=2y......tanT=y
--->sin(x-T)=2y/√(1+y^)∈[-1,1]
--->4y^≤1+y^
--->y^≤1/3----->y=sinx/(2+cosx)∈[-√3/3,√3/3]