Question

解不等式||x+1|-|x-1||<x/2+1

如果你答得很好，我会给你加分的！

Answer 1

解不等式：||x+1|-|x-1||<x/2+1

解题思路：利用“零点讨论法”

首先看不等式右边，x/2+1大于一个绝对值，说明它至少大于0。
x/2+1>0
x/2>-1
x>-2

再看不等式左边:根据零点讨论法，找到零点（－1和1），然后根据－1和1将数轴分为3段：
若-2<x≤-1（先前已经确定x>-2）
则:x+1≤0,x-1<0
所以||x+1|-|x-1||<x/2+1
可化为|-(x+1)+(x-1)|<x/2+1 (两个负号相抵消)
|-2|<x/2-1
x/2-1>2
x/2>3
x>6
但是，x>6不在-2<x≤-1的范围内，所以-2<x≤-1的时候无实数集合。

若-1<x≤1
则x+1>0,x-1≤0
所以||x+1|-|x-1||<x/2+1
可化为：|(x+1)+(x-1)|<x/2+1 (两个负号相抵消)
|2x|<x/2+1
此时还需要分类讨论：
若x>0
|2x|<x/2+1
可化为：2x<x/2+1
2x-(x/2)<1
3x/2<1
x<2/3
x<2/3且x>0在-1<x≤1的范围内解集为0<x≤2/3
若x≤0
|2x|<x/2+1
可化为：-2x<x/2+1
2x+(x/2)>-1
5x/2>-1
x>-2/5
x>2/5在-1<x≤1范围内的解是：-2/5<x≤0

若x>1
则x+1>0,x-1>0
||x+1|-|x-1||<x/2+1
可化为：|(x＋1)-(x-1)|<x/2+1
|2|<x/2+1
x/2+1>2
x/2>1
x>2
x>2在x>1的范围内的解集是：x>2

综上所述：-2/5<x≤2/3或x>2

Answer 2

当x不在[-1 1]之间时,||x+1|-|x-1||表示x到-1的距离于x到1的距离之差,显然等于2,
则2<x/2+1,得到x>2,与前面条件取交集,得到x>2.

当x在(-1 1)之间时,||x+1|-|x-1||=|2x|,因为其中两个绝对值中的量是异号的.即
|2x|<x/2+1,

在分类讨论一下,就可以得到x<2/3,或者x>-2/5.与前面的(-1 1)取交集,得到(-2/5 2/3)

两部分合并,就是x>2或 -2/5<x<2/3

Answer 3

楼上不对！那时作差！x=0显然你给的式子显然不等于2

我想，|X+1|-|X-1|的几何意义应该是一动点到数轴-1的距离和到1的距离的差的绝对值！
通过这个几何意义作出数轴可以看到：

x>1-----------2<1/2x+1------------x>2

0<x<1----------x+1-(1-x)<1/2x+1--------------0<x<2/3

独立验证x=0的时候成立！

-1<x<0----------- -2x<1/2x+1---------- -2/5<x<0

x<-1显然不成立！

所以 x>2，-2/5<x<2/3

Answer 4

x2是x²(平方)的意思吧?
X＞1时，|x²-1|＞0＞1-x恒成立;
x=1时，1+0＞1
不成立;
x＜1时，x²-1＞1-x
或
x²-1＜x-1分别解这两个不等式，应该没问题了吧?
x＜-2或0＜x＜1。
综上，解为:{x∈R|x＜-2
或0＜x＜1
或x＞1}。
(好久没做这种题了，好像快忘光了……)

Answer 5

因为X+1与X-1的绝对值相差2也就是无论X为正为负，|X+1|-|X-1|=2
2<X/2+1
X/2>2-1
X/2>1
X>2