Question

关于数列有界性概念和其极限存在准则

数列极限存在准则：如果数列有界且单调则极限一定存在。。。
但是数列有界定义不是存在一个正数M,使得数列Xn的绝对值<=M，则称数列有界，而且有上界和下界是其有界的充分必要条件吗？
李永乐考研复习全书的30页那道证明题第二题给的答案，只证明了数列有下界且单调递减就得结论，数列收敛。。。这和书上说的不符啊，我看的书是同济大学出的高等数学，请各位指点下，我在概念上有错误吗？？？？

Answer 1

数列有下界且单调递减就得结论，数列收敛。。。
很容易理解的：
数列单调递减则第一项X[1]是最大的也就是说X[1]就是它的上界，已知了下界N，则对于任意的n都有X[n]在X[1]和N之间，设|X[1]|和|N|中较大的数等于M，则对于任意的n都有X[n]≤M。又数列单调，所以必有极限。
数列一般单调递增不说下界，因为下界就是X[1]，
同样单调递减不说上界，因为上界就是X[1]。

Answer 2

你概念的理解没有错误，而证明题的证明也没有错误。因为证明了数列有下界而且单调递减的话，数列就收敛。那么，对于单调递增并且有上界的数列(a(n))，数列(-a(n))就是单调递减并且有下界的，所以收敛，所以原来的数列也收敛。两个结论合并在一起，就是说如果数列有界并且单调的话那么必然有极限。