考博中有“矩阵论”,不知和大学时学的矩阵有区别吗?
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矩阵论是大学时矩阵的拓展。
矩阵轮的基本内容包括:线性空间与线性算子,内积空间与等积变换,λ矩陈与若尔当标准形,赋范线性空间与矩阵范数,矩阵的微积分运算及其应用,广义逆矩阵及其应用,矩阵的分解,矩阵的克罗内克积、阿达马积与反积,几类特殊矩阵(如:非负矩阵与正矩阵、循环矩阵与素矩阵、随机矩阵和双随机矩阵、单调矩阵、M矩阵与H矩阵、T矩阵与汉大象尔矩阵等),辛空间与辛矩阵等内容。
下面是2013年清华大学出版社出版的《矩阵论》目录:
上篇
第1章线性空间上的线性算子3
1.1线性空间3
1.1.1线性空间的定义及基本性质3
1.1.2基、维数与坐标8
*1.1.3线性子空间15
习题1.121
1.2线性算子及其矩阵24
1.2.1线性空间上的线性算子24
1.2.2同构算子与线性空间同构27
1.2.3线性算子的矩阵表示29
1.2.4线性算子的运算31
1.2.5线性变换与方阵34
1.2.6线性变换的特征值问题42
*1.2.7线性变换的不变子空间54
习题1.256
第2章内积空间上的等积变换62
2.1内积空间62
2.1.1内积与欧几里得空间63
2.1.2酉空间介绍73
习题2.174
2.2等积变换及其矩阵77
2.2.1正交变换与正交矩阵78
2.2.2两类常用的正交变换及其矩阵85
*2.2.3酉变换与酉矩阵介绍95
*2.2.4正交投影变换与正交投影矩阵96
习题2.2101
*2.3埃尔米特变换及其矩阵103
2.3.1对称变换与埃尔米特变换103
2.3.2埃尔米特正定、半正定矩阵106
2.3.3矩阵不等式109
2.3.4埃尔米特矩阵特征值的性质111
2.3.5一般的复正定矩阵114
2.3.6正规矩阵115
习题2.3117
第3章λ矩阵与若尔当标准形119
3.1λ矩阵119
3.1.1λ矩阵的概念119
3.1.2λ矩阵在相抵下的标准形122
3.1.3不变因子与初等因子124
3.2若尔当标准形136
3.2.1数字矩阵化为相似的若尔当标准形136
3.2.2若尔当标准形的应用147
3.3凯莱哈密顿定理与最小多项式149
习题3155
第4章赋范线性空间与矩阵范数158
4.1赋范线性空间158
4.1.1向量的范数158
4.1.2向量范数的性质165
习题4.1167
4.2矩阵的范数168
4.2.1矩阵范数的定义与性质168
4.2.2算子范数170
4.2.3谱范数的性质和谱半径176
习题4.2179
4.3摄动分析与矩阵的条件数180
4.3.1病态方程组与病态矩阵181
4.3.2矩阵的条件数181
*4.3.3矩阵特征值的摄动分析185
习题4.3189
第5章矩阵分析及其应用192
5.1向量序列和矩阵序列的极限192
5.1.1向量序列的极限192
5.1.2矩阵序列的极限194
5.2矩阵级数与矩阵函数198
5.2.1矩阵级数198
5.2.2矩阵函数206
5.3函数矩阵的微分和积分216
5.3.1函数矩阵对实变量的导数217
5.3.2函数矩阵特殊的导数221
5.3.3矩阵的全微分226
5.3.4函数矩阵的积分228
*5.4矩阵微分方程229
5.4.1常系数齐次线性微分方程组的解229
5.4.2常系数非齐次线性微分方程组的解236
5.4.3n阶常系数微分方程的解239
习题5244
下篇
第6章广义逆矩阵及其应用251
6.1矩阵的几种广义逆251
6.1.1广义逆矩阵的基本概念251
6.1.2减号逆A-252
6.1.3自反减号逆A-r256
6.1.4最小范数广义逆A-m262
6.1.5最小二乘广义逆A-l265
6.1.6加号逆A+267
6.2广义逆在解线性方程组中的应用273
6.2.1线性方程组求解问题的提法274
6.2.2相容方程组的通解与A-274
6.2.3相容方程组的极小范数解与A-m277
6.2.4矛盾方程组的最小二乘解与A-l281
6.2.5线性方程组的极小最小二乘解与A+286
习题6288
第7章矩阵分解291
7.1矩阵的三角分解291
7.1.1消元过程的矩阵描述291
7.1.2矩阵的三角分解295
7.1.3常用的三角分解公式300
7.2矩阵的QR(正交三角)分解306
7.2.1QR分解的概念306
7.2.2QR分解的实际求法309
7.3矩阵的最大秩分解316
7.4奇异值分解与谱分解320
7.4.1矩阵的奇异值分解320
7.4.2单纯矩阵的谱分解324
习题7326
第8章几类特殊矩阵330
8.1非负矩阵330
8.1.1非负矩阵与正矩阵330
8.1.2不可约非负矩阵336
8.1.3素矩阵与循环矩阵342
8.2随机矩阵与双随机矩阵343
8.3单调矩阵346
8.4M矩阵与H矩阵348
8.4.1M矩阵348
8.4.2H矩阵353
8.5T矩阵与汉克尔矩阵354
习题8357
第9章矩阵的特殊积及其应用358
9.1克罗内克积358
9.1.1克罗内克积的概念358
9.1.2克罗内克积的性质359
9.2阿达马积364
9.3反积及非负矩阵的阿达马积366
9.4克罗内克积应用举例366
9.4.1矩阵的拉直367
9.4.2线性矩阵方程的解368
习题9370
第10章辛空间与辛变换简介371
10.1反对称双线性函数与辛空间372
10.1.1反对称双线性函数372
10.1.2线性函数的外积372
10.1.3辛空间的定义373
10.2子空间的反对称正交补374
10.2.1反对称正交补374
10.2.2几种特殊的子空间378
10.2.3辛空间的性质379
10.2.4辛基379
10.3辛变换与辛矩阵380
10.3.1辛变换及其矩阵380
10.3.2辛变换的特征值383
10.4辛对合385
习题10390
矩阵轮的基本内容包括:线性空间与线性算子,内积空间与等积变换,λ矩陈与若尔当标准形,赋范线性空间与矩阵范数,矩阵的微积分运算及其应用,广义逆矩阵及其应用,矩阵的分解,矩阵的克罗内克积、阿达马积与反积,几类特殊矩阵(如:非负矩阵与正矩阵、循环矩阵与素矩阵、随机矩阵和双随机矩阵、单调矩阵、M矩阵与H矩阵、T矩阵与汉大象尔矩阵等),辛空间与辛矩阵等内容。
下面是2013年清华大学出版社出版的《矩阵论》目录:
上篇
第1章线性空间上的线性算子3
1.1线性空间3
1.1.1线性空间的定义及基本性质3
1.1.2基、维数与坐标8
*1.1.3线性子空间15
习题1.121
1.2线性算子及其矩阵24
1.2.1线性空间上的线性算子24
1.2.2同构算子与线性空间同构27
1.2.3线性算子的矩阵表示29
1.2.4线性算子的运算31
1.2.5线性变换与方阵34
1.2.6线性变换的特征值问题42
*1.2.7线性变换的不变子空间54
习题1.256
第2章内积空间上的等积变换62
2.1内积空间62
2.1.1内积与欧几里得空间63
2.1.2酉空间介绍73
习题2.174
2.2等积变换及其矩阵77
2.2.1正交变换与正交矩阵78
2.2.2两类常用的正交变换及其矩阵85
*2.2.3酉变换与酉矩阵介绍95
*2.2.4正交投影变换与正交投影矩阵96
习题2.2101
*2.3埃尔米特变换及其矩阵103
2.3.1对称变换与埃尔米特变换103
2.3.2埃尔米特正定、半正定矩阵106
2.3.3矩阵不等式109
2.3.4埃尔米特矩阵特征值的性质111
2.3.5一般的复正定矩阵114
2.3.6正规矩阵115
习题2.3117
第3章λ矩阵与若尔当标准形119
3.1λ矩阵119
3.1.1λ矩阵的概念119
3.1.2λ矩阵在相抵下的标准形122
3.1.3不变因子与初等因子124
3.2若尔当标准形136
3.2.1数字矩阵化为相似的若尔当标准形136
3.2.2若尔当标准形的应用147
3.3凯莱哈密顿定理与最小多项式149
习题3155
第4章赋范线性空间与矩阵范数158
4.1赋范线性空间158
4.1.1向量的范数158
4.1.2向量范数的性质165
习题4.1167
4.2矩阵的范数168
4.2.1矩阵范数的定义与性质168
4.2.2算子范数170
4.2.3谱范数的性质和谱半径176
习题4.2179
4.3摄动分析与矩阵的条件数180
4.3.1病态方程组与病态矩阵181
4.3.2矩阵的条件数181
*4.3.3矩阵特征值的摄动分析185
习题4.3189
第5章矩阵分析及其应用192
5.1向量序列和矩阵序列的极限192
5.1.1向量序列的极限192
5.1.2矩阵序列的极限194
5.2矩阵级数与矩阵函数198
5.2.1矩阵级数198
5.2.2矩阵函数206
5.3函数矩阵的微分和积分216
5.3.1函数矩阵对实变量的导数217
5.3.2函数矩阵特殊的导数221
5.3.3矩阵的全微分226
5.3.4函数矩阵的积分228
*5.4矩阵微分方程229
5.4.1常系数齐次线性微分方程组的解229
5.4.2常系数非齐次线性微分方程组的解236
5.4.3n阶常系数微分方程的解239
习题5244
下篇
第6章广义逆矩阵及其应用251
6.1矩阵的几种广义逆251
6.1.1广义逆矩阵的基本概念251
6.1.2减号逆A-252
6.1.3自反减号逆A-r256
6.1.4最小范数广义逆A-m262
6.1.5最小二乘广义逆A-l265
6.1.6加号逆A+267
6.2广义逆在解线性方程组中的应用273
6.2.1线性方程组求解问题的提法274
6.2.2相容方程组的通解与A-274
6.2.3相容方程组的极小范数解与A-m277
6.2.4矛盾方程组的最小二乘解与A-l281
6.2.5线性方程组的极小最小二乘解与A+286
习题6288
第7章矩阵分解291
7.1矩阵的三角分解291
7.1.1消元过程的矩阵描述291
7.1.2矩阵的三角分解295
7.1.3常用的三角分解公式300
7.2矩阵的QR(正交三角)分解306
7.2.1QR分解的概念306
7.2.2QR分解的实际求法309
7.3矩阵的最大秩分解316
7.4奇异值分解与谱分解320
7.4.1矩阵的奇异值分解320
7.4.2单纯矩阵的谱分解324
习题7326
第8章几类特殊矩阵330
8.1非负矩阵330
8.1.1非负矩阵与正矩阵330
8.1.2不可约非负矩阵336
8.1.3素矩阵与循环矩阵342
8.2随机矩阵与双随机矩阵343
8.3单调矩阵346
8.4M矩阵与H矩阵348
8.4.1M矩阵348
8.4.2H矩阵353
8.5T矩阵与汉克尔矩阵354
习题8357
第9章矩阵的特殊积及其应用358
9.1克罗内克积358
9.1.1克罗内克积的概念358
9.1.2克罗内克积的性质359
9.2阿达马积364
9.3反积及非负矩阵的阿达马积366
9.4克罗内克积应用举例366
9.4.1矩阵的拉直367
9.4.2线性矩阵方程的解368
习题9370
第10章辛空间与辛变换简介371
10.1反对称双线性函数与辛空间372
10.1.1反对称双线性函数372
10.1.2线性函数的外积372
10.1.3辛空间的定义373
10.2子空间的反对称正交补374
10.2.1反对称正交补374
10.2.2几种特殊的子空间378
10.2.3辛空间的性质379
10.2.4辛基379
10.3辛变换与辛矩阵380
10.3.1辛变换及其矩阵380
10.3.2辛变换的特征值383
10.4辛对合385
习题10390
2009-08-25 · 知道合伙人教育行家
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矩阵论 是本科线性代数学科的扩展和提升!
一、课程目的与要求
通过本课程的学习,使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上,进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。
本课程要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论,会证明简单的一些命题和结论,从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法,如各种标准型、矩阵函数等,为今后在相关专业中实际应用打好基础。
二、课程内容及学时安排
一、线性空间与线性变换式
1. 理解线性空间的概念,掌握基变换与坐标变换的公式;
2. 掌握子空间与维数定理,了解线性空间同构的含义;
3. 理解线性变换的概念,掌握线性变换的矩阵表示。(不变子空间不作要求)
二、内积空间
1. 理解内积空间的概念,掌握正交基及子空间的正交关系;
2. 了解内积空间的同构的含义,掌握判断正交变换的判定方法;
3. 理解酋空间的概念,会判定一个空间是否为酋空间的方法,掌握酋空间与实内积空间的异同;
4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质,理解厄米特二次型的含义。
三、矩阵的标准形与若干分解形式
1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法;会求矩阵的约当标准形;
2. 掌握哈密顿—开莱定理,会求矩阵的最小多项式;
3. 会求史密斯标准形;
4. 掌握多项式矩阵的互质性与既约性的判别方法,会求有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解;
5. 了解舒尔定理及矩阵的QR分解与奇异值分解。
四、矩阵函数及其应用
1. 理解向量范数、矩阵范数及向量和矩阵的极限的概念;
2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法,会求矩阵函数;
3. 会求矩阵的微分与积分;
4. 了解矩阵函数在线性系统理论中的应用。
三、教材及主要参考书
[1]罗家洪,矩阵分析引论,华南理工大学出版社,2002。
[2]北京大学数学系,高等代数,人民教育出版设,1978。
[3]陈公宁,矩阵理论与应用,高等教育出版社,1990。
http://swuni.shnet.edu.cn/wsUni/html/yanlessons/36.htm
一、课程目的与要求
通过本课程的学习,使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上,进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。
本课程要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论,会证明简单的一些命题和结论,从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法,如各种标准型、矩阵函数等,为今后在相关专业中实际应用打好基础。
二、课程内容及学时安排
一、线性空间与线性变换式
1. 理解线性空间的概念,掌握基变换与坐标变换的公式;
2. 掌握子空间与维数定理,了解线性空间同构的含义;
3. 理解线性变换的概念,掌握线性变换的矩阵表示。(不变子空间不作要求)
二、内积空间
1. 理解内积空间的概念,掌握正交基及子空间的正交关系;
2. 了解内积空间的同构的含义,掌握判断正交变换的判定方法;
3. 理解酋空间的概念,会判定一个空间是否为酋空间的方法,掌握酋空间与实内积空间的异同;
4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质,理解厄米特二次型的含义。
三、矩阵的标准形与若干分解形式
1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法;会求矩阵的约当标准形;
2. 掌握哈密顿—开莱定理,会求矩阵的最小多项式;
3. 会求史密斯标准形;
4. 掌握多项式矩阵的互质性与既约性的判别方法,会求有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解;
5. 了解舒尔定理及矩阵的QR分解与奇异值分解。
四、矩阵函数及其应用
1. 理解向量范数、矩阵范数及向量和矩阵的极限的概念;
2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法,会求矩阵函数;
3. 会求矩阵的微分与积分;
4. 了解矩阵函数在线性系统理论中的应用。
三、教材及主要参考书
[1]罗家洪,矩阵分析引论,华南理工大学出版社,2002。
[2]北京大学数学系,高等代数,人民教育出版设,1978。
[3]陈公宁,矩阵理论与应用,高等教育出版社,1990。
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相差不很大。你问问你导师。考博必须找导师,他会给你辅导的。
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