Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)
若对任意x∈[1,正无穷)，f(x)〉0恒成立，求实数a的取值范围

请写过程

Answer 1

f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2

f(x)>0

x+a/x>-2
当a>=0时
f(x)是对钩函数 最小值是 x=√a 时
即 2√a >-2 因为√a >0 所以a∈[0,正无穷)时均成立

当a<0时

f(x)是一个增函数 最小值是x=1时
1+a>-2

所以a>-3 所以a∈(-3,0)

所以综上所述 a∈(-3,正无穷)

回答者：雪鹰翼之神 - 魔法师 五级 8-19 18:02

我再加一种做法

因为f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)
f(x)>0
x^2+2x+a>0即可
(x+1)^+a-1>0

此时此函数满足x最小时成立即都可成立

x=1时 4+a-1>0

a>-3

Answer 2

因为f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)
要使f(x)>0
只要x^2+2x+a>0即可
只要（x+1）^2+a-1>0即可
又因为a-1为上式的最小值
所以只要a-1>0即可
所以a>1