Question

设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3-bx^2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点，急！

设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3-bx^2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点，(1).求a和b的值；(2)设g(x)=2/3x^3-x^2，试比较f(x)和g(x)的大小。 过程一定要详细，谢谢了！

Answer 1

2)设g(x)=(2/3)x³-x²，试比较f(x)与g(x)的大小
解：(1) f′(x)=2xe^(x-1)+x²e^(x-1)+3ax²+2bx，已知x=-2，x=1是f(x)的极值点，故有:
f′(-2)=-4eֿ³+4eֿ³+12a-4b=12a-4b=4(3a-b)=0，故b=3a...........(1)；
f′(1)=2+1+3a+2b=3+3a+2b=0，将b=3a代入得3+9a=0，故a=-1/3，b=-1.
(2).f(x)=x²e^(x-1)-(1/3)x³-x²，g(x)=(2/3)x³-x²，
f′(x)=2xe^(x-1)+x²e^(x-1)-x²-2x；f′(-2)=-4eֿ³+4eֿ³-4+4=0；f′(0)=0，f′(1)=2+1-1-2=0；
f′′(x)=2e^(x-1)+2xe^(x-1)+2xe^(x-1)+x²e^(x-1)-2x-2=(2+4x+x²)e^(x-1)-2x-2；
f′′(-2)=(2-8+4)eֿ³+4-2=-2eֿ³+2>0，故x=-2是f(x)的极小点，极小值=f(-2)=4eֿ³+8/3-4=4eֿ³-4/3；
f′′(0)=2/e-2<0，故x=0是f(x)是f(x)的极大点，极大值=f(0)=0；
f′′(1)=(2+4+1)e°-2-2=7-4=3>0，故x=1是f(x)的极小点，极小值=f(1)=1-1/3-1=-1/3；
令g′(x)=2x²-2x=2x(x-1)=0，得驻点x₁=0，x₂=1；x₁是极大点，x₂是极小点；极大值=g(0)=0；
极小值=g(1)=2/3-1=-1/3.
把上面的讨论归纳一下：
f(x)：极小点(-2，4eֿ³-4/3)；极大点(0，0)；极小点(1，-1/3)；
g(x)：极大点(0，0)；极小点(1，-1/3)；
由于g(-2)=(2/3)×(-8)-4=-16/3-4=-28/3<f(-2)，由函数的连续性可知：当x<0时f(x)>g(x)；
f(0)=g(0)=0，f(1)=g(1)=-1/3，由于f(1/2)=1/(4√e)-1/24-1/4=1/(4√e)-7/24=-0.38；
g(1/2)=(2/3)×(1/8)-1/4=1/12-1/4=-1/6=-0.167>f(1/2)；
故可断言：当0≦x≦1时有f(x)<g(x)；
由于f(1)=g(1)=-1/3，f(2)=4e-8/3-4=4e-20/3<g(2)=16/3-4=4/3，故当x>1时有f(x)<g(x).

Answer 2

1.f(x)的导数=(x^2+2x)e^x-1+3ax^2+2bx,x=-2和x=1是其根，解得a=-1/3,b=1
2.f(x)>g(x)等价于x^2 e^(x-1)-1/3 *x^3-x^2>2/3x^3-x^2，即x^2[e^(x-1)]>0
解得x>1;
所以当x>1，f(x)>g(x);当x<0或0<x<1时,f(x)<g(x)；当x=0或1，f(x)=g(x)