Question

已知实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1,求证a根号bc+b根号ac+c根号ab<=1

已知实数a,b,c,满足ab+bc+ca=1,求证a根号bc+b根号ac+c根号ab<=1

Answer 1

用反证法。
令a√(bc)+b√(ac)+c√(ab)＞1
则a√(bc)+b√(ac)+c√(ab)＞ab+bc+ac
即(√(bc)-b-c)*(√a)^2+(b√c-c√b)*√a-bc大于0
令左式为0，求根，其判别式为
-3b^c-3bc^2+6bc√bc≥0
即(b√c-c√b)^2≤0
显然判别式为0，且有b√c=c√b
b=c，再代入有
b^2+2ab＜ab+b√(ac)+c√(ab)
即(√ab-√b)^2小于0
矛盾，因此假设错误，原命题成立。

Answer 2

楼上的方法很巧妙，但一般不易想到。其实只用一步均值就行了。一步到位：a根bc<=a[(b+c)/2].依此类推，展开即得。证毕。

Answer 3

因为ab>0,bc>0,ca>0,所以，a,b,c全正或全负，又ab+bc+ca=1>0，所以a,b,c全正，所以a+b>2根号ab
设f(根c)=ab+bc+ca-a根号bc+b根号ac+c根号ab,令t=根c,则
f(t)=(a+b-根ab)t^2-(a根b+b根a)t + ab,
因为a+b>2根号ab，所以a+b-根ab>0，判别式=(a根b+b根a)^2-4aba+b-根ab=3ab(2根ab-a-b)<0，所以f(t)>0恒成立,所以1=ab+bc+ca>a根号bc+b根号ac+c，所以a根号bc+b根号ac+c根号ab<=1

Answer 4

因为ab+bc+ac=1
所以原式等价于……<=ab+bc+ac
(题中根号我用#表示）
1,当a b c全正时，同除以abc/2,
得：2#bc+2#ac+2#ab<=2(1/b+1/c+1/a)
=1/b+1/c+1/a+1/c+1/a+1/b
根据基本不等式得：
2#bc+2#ac+2#ab<=b+c+a+c+a+b
因为a,b,c为正，且ab+ac+bc=1
所以a b c属于（0，1）
所以b+c+a+c+a+b<=1/b+1/c+1/a+1/c+1/a+1/b
所以a b c均正时，得证。
2，当a,b,c均负时，同理可证