Question

如图,已知在三角形ABC中,CD是AB边上的高,且CD*CD=AD*BD,问三角行ABC是直角三角形?

图片地址 如图,已知在三角形ABC中,CD是AB边上的高,且CD*CD=AD*BD,问三角行ABC是直角三角形?
我们没有学相似

Answer 1

△ABC是直角三角形
证明：
∵CD*CD=AD*BD
∴CD/BD=AD/CD
∵∠ADC=∠BDC=90°
∴△ACD ∽△CBD
∴∠ACD =∠B
∵∠B +∠BCD=90°
∴∠ACD +∠BCD=90°
∴∠ACB =90°
∴△ABC是直角三角形

哦！!!
没学相似，就用勾股定理

∵CD⊥AB
∴AC^2=AD ^2+CD^2
BC ^2=CD^2+BD^2
∴AC^2+BC ^2=AD^2+BD^2+2CD^2
∵CD^2=AD*BD
∴AC^2+BC ^2=AD^2+BD^2+2AD*BD=(AD+BD)^2=AB^2
∴△ABC 是直角三角形

Answer 2

是啊！其实这就是一个定理，如果不能直接用，就用求证法。
因为CD*CD=AD*BD所以CD/BD=AD/CD
因为CD是AB的高，所以三角形ACD相似于三角形BCD
所以角A等于角BCD
因为角A+角ACD=90°
所以角BCD+角ACD=90°
所以ABC是直角三角形

Answer 3

∵CD*CD=AD*BD ∴CD/AD=BD/CD ∵∠CDA=∠CDB=90度 ∴ΔCDA∽ΔCDB ∴∠ACD=∠DBC ∵∠DBC+∠DCB=90度
∴∠ACD+∠DCB=90度
∴三角行ABC是直角三角形。