Question

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)*f(y)，当x>0时，有0<f(x)<1,

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)*f(y)，当x>0时，有0<f(x)<1
求证：f(0)=1,且当x<0时，f(x)>1
证明：f(x)在R上单调递减

Answer 1

f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
可得f(0)=0或f(0)=1

f(0+x)=f(0)*f(x)
可得f(0)=1

f(x-x)=1=f(x)*f(-x)
根据当x>0时，有0<f(x)<1可知当x<0时，f(x)>1

f(x+m)-f(x)=f(x)*[f(m)-f(0)]
f(m)在m>0时恒小于1，所以，上式必定为负。

方法可能不是最简单，但是基本的思路就是这样的。

PS:感谢楼主让我感觉自己回到了学生时代。恩，怀念我的高中同学，虽然有些已经永远的不在了。

Answer 2

.(1)证明：令x＞0，y=0得：f(m)=f(m)．f(0).∵f(x)≠0，∴f(0)=1

取x=x，y=－x，(x＜0)，得f(0)=f(x)f(－x)

∴f(x)=1/f(－x) ，
∵x＜0，∴－x＞0，∴0＜f(－x)＜1，∴f(x)＞1

(2)证明：任取x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)=f(x1)－f〔(x2－x1)+x1〕

=f(x1)－f(x2－x1)．f(x1)=f(x1)〔1－f(x2－x1)〕，

∵f(x1)＞0，1－f(x2－x1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，

∴函数f(x)在R上为单调减函数.

Answer 3

1.令x=1,y=0
则f(1)=f(1)*f(0)
因为0<f(1)<1
所以f(0)=1

2.设x1>x2
f(x1)=f(x2)*f(x1-x2)
f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)
x1-x2>0
0<f(x1-x2)<1
0<f(x1)/f(x2)<1
f(x1)<f(x2)
f(x)在R上单调递减