Question

高中数学题。函数的奇偶性周期性。

定义在实数集上的函数f(x)对任意x,y属于R，都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)不等于0。
（1）求证f(0)=1
（2）求证y=f(x)是偶函数
（3）若存在常数c，使f(c/2)=0
1.求证：对任意实数x属于R，有f(x+c)=-f(x)成立
2.试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期，如果不是，说明理由。

Answer 1

1.令x=y=0 2f(0)=2f(0)^2 f(0)不等于0，f（0）=1
2.令x=0f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y) D:R,f(y)=f(-y) 偶函数
3.f(x+c/2)+f(x-c/2)=0
f(x+c)+f(x)=0
4.是周期函数，T=2c

Answer 2

(1)证明： 令x=0 y=o，则有F（0+0）+F（0-0）=2F（0）F(0)
即有：F（0）=F(0)(平方) 又有F（0）不等于0 所以F（0）=1