Question

已知函数f(x)=（x^2+2x+a）/x,x∈【1，正无穷）。a=1/2，函数最小值为多少？

任意x属于【1，正无穷），f(x)>0恒成立，求a的实数范围

Answer 1

a=1/2
f(x)=x+0.5/x+2
由单调性证明f（x）在【√2/2，+无穷）是单调递增的
所以当x=1时取最小值为7/2

任意x∈〖1，+∞），（x^2+2x+a）/x≥0均成立。
所以x²+2x+a≥0恒成立
(x+1)²≥1-a恒成立
所以x+1≥√（1-a）
或x+1≤-√（1-a）
x≥√（1-a） -1
或x≤-√（1-a） -1
其解集应为：x≥1
所以√（1-a） -1＜1
1-a＜4
a＜-3

Answer 2

f(x)=（x^2+2x+a）/x,x∈【1，正无穷）。a=1/2.
y=(x^2+2x+1/2）/x=x+1/2x+2，在[根号2/2，正无穷）递增。（0，根号2/2】递减。最小值为f（1）=3.5

f(x)=（x^2+2x+a）/x=x+a/x+2,.........

Answer 3

我只做第二问,
f(x)>0恒成立,则有
(X^2+2X+a)/x>0,
x+2+(a/x)>0,
a/x>-(x+2),而,x∈【1，正无穷）。
a>-(x+2)x=-x^2-2x,
令,g(x)=-x^2-2x,x∈【1，正无穷）。
g(x)=-(x+1)^2+1.
g(x)对称轴X=-1,抛物线开口向下,
当X=1时,g(x)有最大值,g(x)max=g(1)=-1-2=-3.
只有当a>g(x)最大值时,f(x)>0恒成立，
即有,a>-3.