Question

相似矩阵迹相同，这个结论怎么证明？

备考时遇到的问题，请广大数学达人帮忙！
补充：为什么矩阵的迹等与特征值的和？ 如果知道的请给一下详细的证明过程，小弟谢过了！

Answer 1

可逆矩阵u可写成n个初等矩阵乘积的形式，也就是说若矩阵a相似于矩阵b，a=u的逆矩阵*b*u；相当于是对b进行初等行变换和初等列变换，从而得到a。初等行、列变换不改变矩阵的秩，所以相似矩阵的秩相等。

Answer 2

方法一：通过简单计算证明tr(AB)=tr(BA)，从而tr(P^{-1}AP)=tr(APP^{-1})=tr(A).

方法二就是楼上说的，把特征方程写一下就知道了。

Answer 3

因为迹就是对角线上元素的和，这个和等于特征值好的和