Question

相似矩阵的迹为什么相等?

Answer 1

相似矩阵有相同的特征值，所以相等

若n阶方阵A的特征值为a1,a2,a3......an，则tr(A)=a1+a2+......+an。

A*（A的伴随阵）的迹为tr(A*)=|A|/a1+|A|/a2+........+|A|/an。(|A|为A的行列式，a1,a2,a3......an为A的特征值)

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。

 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵 。

扩展资料：

在数学中，矩阵为一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。

成书最早在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。

但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。

Answer 2

若A=SB(S^-1)
则A和B是相似矩阵
迹运算满足性质：tr（ABC）=tr（BCA）=tr（CAB）
所以tr（A）=tr（SB(S^-1)）=tr（(S^-1)SB）=tr（B）

Answer 3

∵A~B
∴存在一个可逆矩阵X，使B=X＾-1AX
则 tr(B)=tr(X＾-1AX)=tr(X＾-1(AX))=tr((AX)X＾-1)=tr(AXX＾-1)=tr(A(XX＾-1))=tr(A)
∴相似矩阵有相同的迹