Question

【高二数学数列题目】。

已知等比数列xn的各项都为不等于1的正数，x1=a^11，x3=a^9，数列yn满足ynlogxn a=2（其中n、xn、为下标）a为常数，a>0不等于1

求：（1），数列{yn}的前多少项的和最大，最大值是多少？
（2），是否存在自然数m，使得当n>m的时候，xn>1总是成立？这样的m如果存在，求出其值，若不存在说明理由。
（3），设an=log xn x n+1（其中xn，n+1为下标），n为非零自然数且n>13，判断数列{an}的增减性。

最好写明过程~~！会的回答~不会的走开~回答满意的赏分~

Answer 1

(1)、
X3=X1*q^2

a^9=a^11 * q^2 ==> q = 1/a

Xn=X1*q^(n-1)=a^11 * (1/a)^(n-1)=a^11 * a^(1-n)=a^(12-n)

Yn * log Xn a=2
Yn=2/ log Xn a =2* log a Xn=2* log a [a^(12-n)]=2*(12-n)

设 {Yn} 前n项和为Sn
Sn=23n- n^2= -(n^2-23n)= -[(n-23/2)^2-529/4]
=529/4 - (n-23/2)^2
理论上 n=23/2 时 Sn 最大, n 为自然娄
故，当n=12 或11 时 Sn最大
即S12=S11=529/4 -(1/2)^2= 132
(2)、

Xn=a^(12-n)
当n=12时,Xn=1

当 a>1 时 , n>12 ==> Xn<1, n<12 ==> Xn>1
当 a<1 时, n> 12 ==> Xn>1, n>12 ==>Xn<1
故当 且仅当 a < 1 时, 存在 m ,在n>m时 Xn>1 成立, 此时 m=12

(3)
an=log Xn X(n+1)= log a Xn / log a X(n+1)
=Xn/X(n+1)
=a^(12-n)/a^(11-n)
=a
...