Question

已知函数f(x)=a/3x^3-3/2x^2+(a+1)x+1，其中a为实数

已知函数f(x)=a/3x^3-3/2x^2+(a+1)x+1，其中a为实数
（1）已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f '(x)>x^2-x-a+1对任意a属于（0，正无穷）都成立，求实数x的取值范围

Answer 1

f(x)=a/3x^3-3/2x^2+(a+1)x+1
f'(x)=ax^2-3x+(a+1),
x=1时,f'(1)=0,
a-3+a+1=0,
a=1.

f'(x)=x^2-3x+2.
ax^2-3x+a+1>x^2-x-a+1,
a(x^2+2)>x^2+2x
a>(x^2+2x)/(x^2+2)
因为(x^2+2)>0,任意a属于（0，正无穷）都成立，所以(x^2+2x)=<0
-2<=x<=0

Answer 2

f(x)=a/3x^3-3/2x^2+(a+1)x+1
f'(x)=ax^2-3x+(a+1),
x=1时,f'(1)=0,
a-3+a+1=0,
a=1.

f'(x)=x^2-3x+2.
x^2-3x+2>x^2-x-a+1,
a>2x-1.
0>2x-1,
x<1/2.
实数x的取值范围是:X<1/2.