Question

线性代数中基础解系中的自由变量如何确认？

课本上没详细的过程，还是没搞明白。
在求齐次方程组的基础解系时，要按阶梯形给自由变量赋值，就可确保延伸后的解向量是线性无关的
自由变量的确认直接关系到了基础解系的正确性。
列如：
矩阵变为：
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
那为什么要取X3为自由变量了？原理是什么，为什么不能取X1或者X2为自由变量？
为什么取X3之后保证了基础解系的之间是线性无关的？（假如有2个基础解系）
例如：X1+X2+X3=0
的矩阵：
1 1 1
0 0 0
0 0 0
那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系？

Answer 1

那为什么要取X3为自由变量了？原理是什么，
首先观察矩阵，显然，
x1-x3=0
x2-x3=0
显然 ，x3与x1,x2均相关，所以，当确定x3后，那么x1,x2也就确定了。必须是选定自由变量，那么其他的量就确定了。所以选x3最简便的确定其他的量。

为什么不能取X1或者X2为自由变量？
这种认为是不对的！，也可以选x1,或者x2作为自由变量。因为x2确定，那x3也确定，从而x1也确定。

为什么取X3之后保证了基础解系的之间是线性无关的？（假如有2个基础解系）
有多少（r）个自由变量，说明矩阵的秩为n-r
那么相应的就有n-r个基础解系。
其次，我们在进行赋值时，一般选取单位基础向量进行赋值，例如
（0，1，0，。。）（1，0，0，。。。）等等等，保证了其线性无关性

所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系

那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系

显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个
在x1,x2,x3中任选两个，进行赋值，一般为（0，1）或者（1，0）
然后确定最后一个值。